La méthode d'Euler

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\).
On ne sait pas exprimer une primitive de cette fonction \(f\) à partir des fonctions usuelles au programme de première.

L'objectif de cette activité est d'utiliser la méthode d'Euler pour construire, de manière approchée, la courbe représentative de la primitive \(F\) de la fonction \(f\) qui s'annule en \(0\).

La fonction \(F\) recherchée vérifie les conditions suivantes \(\begin{cases}F'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \ \text{pour tout réel }x \in \mathbb{R} \\ F(0)=0 \end{cases}\).

On se place dans un repère du plan.
On notera \(\text{M}_n\left(x_n\,;y_n\right)\) les points obtenus par la méthode d'Euler qui approximent la courbe de \(F\).

Partie A : calculs des coordonnées des premiers points d'approximation

Dans cette partie, on fixe \(h=0{,}1\).
1. Donner les coordonnées du point d'abscisse nul, \(\text{M}_0\), appartenant à la courbe représentative de la fonction \(F\).
2. Utiliser une approximation affine pour déterminer une valeur approchée de \(F(0{,}1)\). En déduire les coordonnées du point \(\text{M}_1\), d'abscisse \(0{,}1\), proche de la courbe de \(F\).
3. En réutilisant la valeur approchée de \(F(0{,}1)\) obtenue à la question précédente, déterminer une valeur approchée de \(F(0{,}2)\) à l'aide d'une approximation affine. En déduire les coordonnées du point \(\text{M}_2\), d'abscisse \(0{,}2\), proche de la courbe de \(F\).
4. Recommencer les questions 2. à 4. en prenant \(h=-0{,}1\).

Partie B : utilisation du tableur

Dans cette partie, \(h\) est un réel proche de \(0\). L'objectif de cette partie est d'utiliser le tableur disponible dans cette perle pour afficher plusieurs points par la méthode d'Euler.
1. La suite des abscisses \((x_n)\) est définie par : \(\begin{cases} x_0 =0\\ \text{pour tout } n \in \mathbb{N},\, x_{n+1} = x_n+h \end{cases}\).

Justifier que la suite des ordonnées \((y_n)\), qui approxime \(F(x_n)\), est définie par :  \(\begin{cases} y_0 =0\\ \text{pour tout } n \in \mathbb{N}, \,y_{n+1} = y_n+\dfrac{h}{1+x_n^2}\end{cases}\). 
2. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule \(\texttt{A3}\), puis recopier vers le bas, pour obtenir les valeurs de la suite \((x_n)\) ?
3. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule \(\texttt{B3}\), puis recopier vers le bas, pour obtenir les valeurs de la suite \((y_n)\) ?
4. Afficher le nuage des points de coordonnées \((x_n;y_n)\) dans le tableur.
5. Modifier la valeur de \(h\) et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque \(h\) est négatif.

Voici le script d'un programme en langage Python qui permet, en utilisant la méthode d’Euler, d’afficher le tableau de valeurs de la fonction \(F\) sur un intervalle donné et de construire une approximation de sa courbe représentative à partir de ces valeurs.

1. Identifier chacun des paramètres de la fonction \(\texttt{euler}\).
2. À quoi correspondent les instructions situées aux lignes 17 et 18 ? Peut-on permuter l'ordre de ces instructions ?
3. Que représentent les variables \(\texttt{X}\) et \(\texttt{Y}\) dans ce programme ?
4. Copier et tester ce programme pour différentes valeurs de \(\texttt{h}\) (par exemple : \(\texttt{0.5}\), \(\texttt{0.1}\), \(\texttt{0.01}\)).